Pertidaksamaan

Peubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya R maka peubahnya disebut peubah real. Selanjutnya, yang dimaksudkan dengan peubah adalah peubah real.

Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu peubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, £, ³).

Contoh 1

a. c.

b. d.

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan real yang dapat dicapai oleh peubah-peubah yang ada dalam pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi benar.Himpunan semua bilangan yang demikian ini disebut penyelesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam R sangat membantu dalam mencari penyelesaian suatu pertidaksamaan.

Contoh 2 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan .

Penyelesaian:

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan di atas adalah .?

Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh di atas. Beberapa contoh diberikan sebagai berikut.

Contoh 3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: .

Penyelesaian: Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:

Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,

(i). Jika ke dua faktor positif maka:

Sehingga diperoleh: .

(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:

Diperoleh: .

Jadi, penyelesaian adalah .

Penyelesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: ruas kiri pertidaksamaan bernilai nol jika . Selanjutnya, ke dua bilangan ini membagi garis bilangan menjadi 3 bagian: (Gambar 1.1.4).

· · · · · ·

Pada bagian , nilai keduanya negatif, sehingga hasil kali keduanya positif. Pada segmen , bernilai positif sedangkan bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada bagian , masing-masing bernilai positif sehingga hasil kali keduanya juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel 1.1.1 di bawah ini.

Tabel 1

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan adalah .?

Metode penyelesaian seperti pada Contoh 3 di atas dapat pula diterapkan pada bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk pecahan.

Contoh 1 Tentukan penyelesaian .

Penyelesaian: Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh:

Jika , maka diperoleh: . Selanjutnya, perhatikan table berikut:

Tabel 2

Jadi, penyelesaian adalah .?

Contoh 5 Selesaikan .

Penyelesaian: Apabila pada ke dua ruas ditambahkan maka diperoleh:

Nilai nol pembilang adalah , sedangkan nilai nol penyebut adalah 2. Sekarang, untuk mendapatkan nilai x sehingga diperhatikan tabel berikut:

Tabel Penyelesaian

	Tanda nilai/nilai				Kesimpulan
	- + + + 0 4 7	- - + + -4 0 3	- - - + -7 -3 0	- + - + 0 tak terdefinisikan 0	Pertidaksamaan tidak dipenuhi. Pertidaksamaan dipenuhi. Pertidaksamaan tidak dipenuhi. Pertidaksamaan dipenuhi. Pertidaksamaan dipenuhi. Pertidaksamaan tidak dipenuhi. Pertidaksamaan dipenuhi.

Jadi, penyelesaian adalah .